3 paradojas que le quitan el sueño a los matemáticos y filósofos

Esta oración es falsa.

Esa es una de las paradojas más populares e ilustrativas: de ser realmente falsa, lo que la oración enuncia es verdad pero si la falsedad enunciada es real, la oración no puede ser falsa.

Paradoja viene de las palabras en latín y griego que significan ‘lo contrario a la opinión común’ y es, según el diccionario de la Real Academia…

2. f. Hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica.

3. f. Ret. Empleo de expresiones o frases que encierran una aparente contradicción entre sí, como en “mira al avaro, en sus riquezas, pobre”.

Las hay de varios tipos, pero lo que suelen tener en común es que nos hacen detenernos a pensar, así sea por sólo un instante, como “para llegar rápido, nada mejor que ir despacio”.

Pero otras nos han acompañado durante años, a veces siglos, y en ocasiones ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.

Cambio e identidad. En eso nos ha hecho reflexionar el historiador, biógrafo y filósofo moralista griego Plutarco (46 o 50-c. 120) durante casi 2.000 años con la paradoja de Teseo, el mítico rey fundador de Atenas, hijo de Etra y Eseo, o según otras leyendas, de Poseidón.

“El barco en el que Teseo y la juventud de Atenas regresaron de Creta tenía treinta remos, y fue conservado por los atenienses incluso hasta la época de Demetrio de Falero, ya que retiraron los viejos tablones a medida que se descomponían e introdujeron madera nueva y más resistente en su lugar, tanto que este barco se convirtió en un ejemplo permanente entre los filósofos, para la pregunta lógica de las cosas que crecen, un lado sostiene que el barco sigue siendo el mismo, y el otro afirma que no”.

Si el barco fue conservado por los atenienses hasta la época de Demetrio de Falero, eso querría decir más o menos 300 años.

Con tantos reemplazos, ¿era la nave la misma?

E iba más allá. Si con la madera vieja construían otro barco idéntico, ¿cuál de los dos sería el original: el que tiene las tablas originales o el que ha sido restaurado?

Para ir a cualquier lugar, tienes que recorrer primero la mitad de la distancia, luego, la mitad de la distancia que te falta por recorrer, después, la mitad de la distancia que te falta, y así hasta el infinito, así que nunca llegarás.

Esta es una de las serie de paradojas del movimiento del filósofo griego Zenón de Elea creadas para demostrar que el Universo es singular y que el cambio, incluido el movimiento, es imposible, como argumentaba su maestro Parménides.

Si te parece absurda, no estás sólo: fue rechazada durante años.

No obstante, la matemática ofreció una solución formal en el siglo XIX que fue aceptar que 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… suman 1.

Aunque esa solución teórica sirvió para ciertos propósitos, no respondió a lo que pasaba en la realidad: cómo algo puede llegar a su destino.

Eso, que entendemos intuitivamente pues lo experimentamos a diario, es más complejo y para resolverlo hubo que esperar hasta el siglo XX para valerse de teorías que mostraran que la materia, el tiempo y el espacio no son infinitamente divisibles.

Ahora que ya calentamos motores, hablemos de una paradoja que a principios del siglo XX sacudió a la comunidad matemática, incluyendo a quien la formuló: el filósofo, matemático, lógico y escritor británico ganador del Premio Nobel de Literatura Bertrand Russell.

Russell era uno de los que estaban tratando de impulsar el logicismo, la tesis filosófica que dice que la matemática, o la mayor parte de ella, puede ser reducida a la lógica.

Ese proyecto incluía en su base la teoría de conjuntos de Cantor-Frege. Ambos, el alemán Georg Cantor y su compatriota Gotlob Frege, daban por supuesto que todo predicado definía un conjunto. Así, el predicado “ser de oro”, define el conjunto de todas las cosas que son de oro.

Suena más que evidente.

Pero, Russell descubrió que había un predicado particular que contradecía la teoría: “no pertenecerse a sí mismo”

Esa es la paradoja de Russell, y es compleja pero por suerte nos topamos con una de las explicaciones más claras, creada por M. Carmen Márquez García para un curso de SAEM Thales, Formación a Distancia a través de Internet, que aparece en este sitio web.

Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes.

Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado “Interior”, de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro “Interior”. Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.

La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros “Pinturas de Russell”. La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.

Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, los reúne y los cuelga en una sala inmensa.

Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.

Cuando el cuadro está terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, “Todas las pinturas del Russell del mundo”.

El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre una pequeña falla: en el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de “Todas las pinturas de Russell del mundo”. Esto quiere decir que “Todas las pinturas del mundo” es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en las paredes.

El experto pide a la artista que borre la pequeña representación.

La artista la borra y le vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura “Todas las pinturas de Russell del mundo” ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposición. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell.

El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequeña imagen el “Todas las pinturas de Russell del mundo”.

Pero una vez que la imagen se ha añadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y así sucesivamente.

Eventualmente la artista y el experto caerán en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.

Teniendo en cuenta que lo que Russell estaba tratando de hacer era reducir la matemática a la lógica y lo que había descubierto era una grieta en los fundamentos de la ciencia, no sorprende su reacción.

“Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos”.

Pero no había vuelta atrás: lo descubierto no se puede volver a cubrir.

Aunque a unos matemáticos el asunto los dejó indiferentes y les pareció que no merecía tanta reflexión, otros destinaron buena parte del trabajo intelectual de la primera mitad del siglo XX a superar la paradoja de Russell… hasta que se decidió que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto.

La solución no le gustó mucho a muchos, ni siquiera a Russell.

M. Carmen Márquez García cuenta que “la tensión intelectual y su descorazonadora conclusión se cobraron un precio muy terrible”.

Russell recordaría cómo después de esto “se apartó de la lógica matemática con una especie de náusea”.

Volvió a pensar en el suicidio, aunque decidió no hacerlo porque, observó, seguramente viviría para lamentarlo.