¿Qué le deben las matemáticas a John Nash?

John Moriarty, profesor de matemáticas de la Universidad de Manchester, en Reino Unido, reflexiona sobre los aportes de este genio de las matemáticas cuya historia sirvió de inspiración a la película "Una mente brillante".

En matemáticas, ideas genuinamente nuevas, genuinamente brillantes, no aparecen todos los días.

A nivel de pregrado, son pocos los temas que se han incorporado después de 1950.

John Nash se ganó un lugar especial en la historia por sus contribuciones revolucionarias en áreas tan diversas de las matemáticas como teoría de los juegos, geometría, topología y ecuaciones diferenciales parciales.

Sin embargo, lo que más sorprende, es que sus ideas continúan resonando.

La semana pasada, cuando Nash se encontraba en Oslo para recibir el prestigio Premio Abel, un grupo de colegas míos comenzaron a aplicar su famoso concepto de equilibrio para intentar resolver un problema muy actual de la sociedad: cómo suministrar electricidad barata, confiable y limpia.

Las nuevas grandes ideas matemáticas deben lograr cierto balance: deben ser lo suficientemente precisas como para permitir llegar a una conclusión detallada, pero también lo suficientemente amplias como para que puedan ser de utilidad para un gran rango de problemas.

La idea del equilibrio de Nash es precisamente una de esas ideas, y fue una contribución fundamental a la naciente teoría matemática de los juegos no cooperativos –donde la fortuna de un jugador depende de las acciones de los demás y todos tratan de hacer lo mejor para sí mismos.

Su definición de equilibrio es lo suficientemente amplia: "Una configuración de estrategias, en la que ningún jugador que actúa por su cuenta puede cambiar su estrategia para lograr un mejor resultado para sí mismo".

De hecho es tan amplia que dicen que John von Neumann, creador de la teoría de juegos, le dijo a Nash en persona que su trabajo sobre este concepto era "trivial".

No obstante, la teoría del equilibrio de Nash ofrece algo realmente nuevo: la habilidad para analizar situaciones de conflicto y cooperación y generar predicciones sobre cómo se comportará la gente.

Utilidad

Además de sus aplicaciones obvias en la política y la economía, la profundidad de su idea se ve reflejada en el interés que generó en la corporación Rand, el centro de estudios secreto de Estados Unidos durante la Guerra Fría.

Mientras que Rand había identificado a la teoría de juegos como un arma secreta promisoria contra la Unión Soviética, antes de Nash el análisis de la corporación era "juego de suma cero".

En otras palabras, la versión que tenían de la teoría era una de conflicto puro en la que los dos bandos no tenían intereses comunes.

En Rand, tenían cada vez mayor conciencia de que esta postulado no era realista.

Como el concepto de equilibrio de Nash es lo suficientemente amplio como para permitir el análisis de situaciones de "no suma cero" en las que algunas metas son compartidas, la coporación contrató al matemático cuando éste terminó su doctorado en 1950.

Otros aportes

Tampoco debemos subestimar las otras contribuciones matemáticas de Nash.

Él se consideraba un matemático puro, en contraste con la naturaleza práctica de la teoría de juegos.

En 1950, las teorías de Einstein sobre las relaciones entre tiempo y espacio generaron un interés creciente entre los matemáticos por la geometría dimensional.

En este contexto, los teoremas de inmersión de Nash resolvieron un problema de larga data entre los matemáticos puros. Y la manera en la que lo resolvió causó incredulidad y controversia en sus contemporáneos.

Su mayor contribución a la teoría de ecuaciones diferenciales podría haberle valido la prestigiosa Medalla Fields, pero su contemporáneo italiano Ennio de Giorgi llegó a los mismos resultados unos meses antes aplicando métodos diferentes.

El famoso equilibrio de Nash, sin embargo, se convirtió quizás en la idea más importante en análisis económicos y se aplica en campos tan diversos como computación, inteligencia artificial y biología evolutiva.

Más recientemente ha sido utilizada en estudios sobre corrupción y mencionada en relación a la crisis financiera griega.

Por supuesto que también ha sido criticada, cuestionada y modificada.

Tal vez, y esto resulta muy apropiado ya que hablamos de equilibrio, es el balance entre la precisión y la generalidad lo que ha hecho que perdure este concepto.